Posiciones Relativas de Tres Planos en el Espacio.
(y tipos de solución de los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas)

La ecuación que define un Plano en el espacio tridimensional es:

Ax + By + Cz + D = 0

donde A, B, C y D son 4 números reales fijos que determinan la posición del plano en el espacio.

Todas las ternas de números reales x, y, z que satisfacen esa ecuación pertenecen al plano.  Se puede, por ejemplo, elegir dos valores reales cualesquiera, uno para x y otro para y y calcular fácilmente la coordenada z de la terna (x, y, z) de uno de los infinitos puntos del espacio que pertenece también al plano.

Veamos de cuántas maneras pueden situarse 3 planos en el espacio:

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas no tienen solución (4 casos).

1) Tres Planos paralelos.

2) Dos Planos paralelos y otro que los corta.

3) Plano paralelo a la línea de corte de los otros dos.

4) Dos Planos superpuestos y el otro paralelo.

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen infinitas soluciónes (3 casos).

5) Tres Planos superpuestos.

6) Haz de Planos.

7) Dos Planos superpuestos y otro que los corta.

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen una solución (1 caso).

8) Tres Planos que se cortan en un punto.

En esta página podemos ver que existen ocho de estas posiciones relativas diferentes.

La ecuación que define un Plano en el espacio tridimensional es:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

que también se puede escribir así:

C₁z = - A₁x - B₁y - D₁

Si dividimos todos los coeficientes por C₁ (el Plano no cambia con esta operación) nos quedaría:

z = Ax + By + C      (donde A = -A₁/C₁, B = -B₁/C₁ y C = -D₁/C₁)

De las ocho posiciones relativas diferentes, en cuatro no hay ni un solo punto del espacio compartido por los tres Planos.  El sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas no tiene solución.

En otras tres de estas posiciones los Planos comparten una infinidad de puntos.  El sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene infinitas soluciones.

Y en una de las configuraciones, los tres Planos comparten sólo un punto.  El sistema tiene una solución.

Es muy fácil encontrar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para cada una de las ocho posiciones relativas diferentes excepto para una: el caso 6 (haz de Planos).

Para encontrar un Plano paralelo a uno dado solamente hay que sumar un número cualquiera a la variable C, es decir, añadir un número en la expresión a la derecha del signo igual en la fórmula: z = Ax + By + C

Dos Planos que se superponen tienen, claro, la misma fórmula: z = Ax + By + C

Para que tres Planos se corten en un punto no tenemos que pensar demasiado, si los coeficientes A_i, B_i y C_i en las tres ecuaciones son números reales escogidos al azar, la probabilidad de obtenerlos (caso 8) es uno. 

Es fácil ver que, dado un plano arbitrario, la probabilidad de que otro escogido al azar le sea paralelo es nula.

En el caso 6 (haz de Planos), es necesario calcular los coeficientes del tercer Plano para que pase por la línea de corte de los otros dos, el cálculo no es demasiado difícil.  Dados, por ejemplo, los Planos:

z = A₁x + B₁y + C₁
z = A₂x + B₂y + C₂

un tercero que pase por la línea de corte entre ellos debe tener unos coeficientes A₃, B₃ y C₃:

z = A₃x + B₃y + C₃

que sean de la forma:

A_{3 =} (k₁ * A₁ + k₂ * A₂) / (k₁ + k₂)
B_{3 =} (k₁ * B₁ + k₂ * B₂) / (k₁ + k₂)
C_{3 =} (k₁ * C₁ + k₂ * C₂) / (k₁ + k₂)

donde k₁ y k₂ pueden ser dos números reales cualesquiera.

Esto es lo mismo que decir que, dados dos Planos (en la forma equivalente que vimos al principio):

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

el tercer Plano debe ser de la forma:

k1(A₁x + B₁y + C₁z + D₁) + k2(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0

Primera publicación: 2003-04-10
Último cambio: 2006-07-31