Posiciones Relativas de Tres Planos en el Espacio. - Y sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. -

Posiciones Relativas de Tres Planos en el Espacio.
(y tipos de solución de los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas)

 

La ecuación que define un Plano en el espacio tridimensional es:

Ax + By + Cz + D = 0

donde A, B, C y D son 4 números reales fijos que determinan la posición del plano en el espacio.

Todas las ternas de números reales x, y, z que satisfacen esa ecuación pertenecen al plano.  Se puede, por ejemplo, elegir dos valores reales cualesquiera, uno para x y otro para y y calcular fácilmente la coordenada z de la terna (x, y, z) de uno de los infinitos puntos del espacio que pertenece también al plano.

Veamos de cuántas maneras pueden situarse 3 planos en el espacio:

 

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas no tienen solución (4 casos).

1) Tres Planos paralelos.

2) Dos Planos paralelos y otro que los corta.

z = -.761x - .236y + 11.272 (verde oscuro)
z = -.761x - .236y + 5.979 (verde intermedio)
z = -.761x - .236y - 5.184 (verde claro)

Los tres Planos no comparten ningún punto.
z = -2.761x - 2.236y + 1.272 (verde oscuro)
z = -1.761x + 1.236y + 7.979 (verde intermedio)
z =
-1.761x + 1.236y - 5.184 (verde claro)

Los tres Planos no comparten ningún punto.
   

3) Plano paralelo a la línea de corte de los otros dos.

4) Dos Planos superpuestos y el otro paralelo.

z = .473x + .805y + 8.324 (verde oscuro)
z = -2.268x + 3.472y + 19.81 (verde intermedio)
z = -.1316x  + 1.393y + 6.557 (verde claro)

Los tres Planos no comparten ningún punto.
z = -2.013x + 1.205y - 4.582 (verde oscuro)
z = -2.013x + 1.205y - 4.582 (verde intermedio)
z = -2.013x + 1.205y + 12.582 (verde claro)

Los tres Planos no comparten ningún punto.
   

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen infinitas soluciónes (3 casos).

5) Tres Planos superpuestos.

6) Haz de Planos.

z = -2.014x + 1.205y - 4.582 (verde oscuro)
z = -2.014x + 1.205y - 4.582 (verde intermedio)
z = -2.014x + 1.205y - 4.582 (verde claro)

Los tres Planos comparten todos sus puntos.
z = .473x + .805y + 8.324 (verde oscuro)
z = -2.268x + 3.472y + 19.81 (verde intermedio)
z = -.1316x + 1.393y + 10.86 (verde claro)

Los tres Planos comparten una recta.
   

7) Dos Planos superpuestos y otro que los corta.

 
 
z = -2.013x +1.205y - 4.582 (verde oscuro)
z = -2.013x +1.205y - 4.582 (verde intermedio)
z = .843x - 0.101y - 2.582 (verde claro)

Los tres Planos comparten una recta.
 
   

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen una única solución (1 caso).

8) Tres Planos que se cortan en un punto.

 
 
z = -1.553x - 2.642y - 10.272 (verde oscuro)
z = 1.416x - 1.92y - 10.979 (verde intermedio)
z = -.761x - .236y - 7.184 (verde claro)

Los tres Planos comparten un solo punto.
 
   
Si situamos tres Planos en el espacio tridimensional, podemos ver que pueden adoptar diferentes posiciones relativas.  Pueden ser los tres paralelos entre sí (caso 1), pueden formar un haz de Planos (caso 6), pueden cortarse en un punto (caso 8)...

En esta página podemos ver que existen ocho de estas posiciones relativas diferentes.

La ecuación que define un Plano en el espacio tridimensional es:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

que también se puede escribir así:

C1z = - A1x - B1y - D1

Si dividimos todos los coeficientes por C1 (el Plano no cambia con esta operación) nos quedaría:

z = Ax + By + C      (donde A = -A1/C1, B = -B1/C1 y C = -D1/C1)

De las ocho posiciones relativas diferentes, en cuatro no hay ni un solo punto del espacio compartido por los tres Planos.  El sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas no tiene solución.

En otras tres de estas posiciones los Planos comparten una infinidad de puntos.  El sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene infinitas soluciones.

Y en una de las configuraciones, los tres Planos comparten sólo un punto.  El sistema tiene una única solución.

Es muy fácil encontrar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para cada una de las ocho posiciones relativas diferentes, excepto para una: el caso 6 (haz de Planos).

(El caso 3 es casi igual al caso 6 excepto por una cosa: uno de los tres planos se desplaza paralelamente a si mismo para que deje de ocupar la línea compartida por los tres.)

Para encontrar un Plano paralelo a uno dado solamente hay que sumar un número cualquiera a la variable C, es decir, añadir un número en la expresión a la derecha del signo igual en la fórmula: z = Ax + By + C

Dos Planos que se superponen tienen, claro, la misma fórmula: z = Ax + By + C

Para que tres Planos se corten en un punto no tenemos que pensar demasiado, si los coeficientes Ai, Bi y Ci en las tres ecuaciones son números reales escogidos al azar, la probabilidad de obtenerlos (caso 8) es uno

Es fácil ver que, dado un plano arbitrario, la probabilidad de que otro escogido al azar le sea paralelo es nula.

En el caso 6 (haz de Planos), es necesario calcular los coeficientes del tercer Plano para que pase por la línea de corte de los otros dos, el cálculo no es demasiado difícil.  Dados, por ejemplo, los Planos:

z = A1x + B1y + C1
z = A2x + B2y + C2

un tercero que pase por la línea de corte entre ellos debe tener unos coeficientes A3, B3 y C3:

z = A3x + B3y + C3

que sean de la forma:

A3 = (k1 * A1 + k2 * A2) / (k1 + k2)
B3 = (k1 * B1 + k2 * B2) / (k1 + k2)
C3 = (k1 * C1 + k2 * C2) / (k1 + k2)

donde k1 y k2 pueden ser dos números reales cualesquiera.

Esto es lo mismo que decir que, dados dos Planos (en la forma equivalente que vimos al principio):

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0

el tercer Plano debe ser de la forma:

k1(A1x + B1y + C1z + D1) + k2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0



Dibujos realizados con el programa
3D Grapher.  Bájate aquí un archivo de los que genera el programa.  Este archivo contiene el último ejemplo: el de tres Planos que se cortan en un punto (caso 8).
josechu2004@gmail.com
 

Primera publicación: 2003-04-10
Último cambio: 2006-07-31