Tenga en cuenta que puede haber otros métodos aparte de estas enormes fórmulas para resolver cúbicas o cuárticas.  Pero quería mostrar aquí que las fórmulas realmente existen.

La forma general de la ecuación de cuarto grado (o cuártica) es:  ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

Las ecuaciones de cuarto grado tienen 4 soluciones (o raíces).

En su forma más general, estas 4 soluciones se pueden representar así:

Primera solución (de cuatro):

Segunda solución (de cuatro):

Tercera solución (de cuatro):

Cuarta solución (de cuatro):

Las cuatro fórmulas son iguales salvo por un signo "+ ó -" al comienzo, y por un par de signos "+ ó -" al final a la derecha de las imágenes.  Nótese que la unidad imaginaria "i" no aparece en ninguna de estas fórmulas.


A continuación, las mismas cuatro fórmulas en ASCII.  Las diferencias están  marcadas aquí en amarillo:

x = -b/(4 a) - 1/2 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] - 1/2 Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) - 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) - 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) - (-b^3/a^3 + 4 b c/a^2 - 8 d/a)/(4 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2]))^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])]

x = -b/(4 a) - 1/2 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] + 1/2 Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) - 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) - 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) - (-b^3/a^3 + 4 b c/a^2 - 8 d/a)/(4 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2]))^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])]

x = -b/(4 a) + 1/2 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] - 1/2 Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) - 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) - 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) + (-b^3/a^3 + 4 b c/a^2 - 8 d/a)/(4 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2]))^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])]

x = -b/(4 a) + 1/2 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] + 1/2 Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) - 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) - 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) + (-b^3/a^3 + 4 b c/a^2 - 8 d/a)/(4 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2]))^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])]

Las fórmulas de arriba fueron obtenidas con el programa Mathematica de Wolfram. Las copié a mano en formato ASCII porque el programa parece no tener esa opción.
josechu2004@gmail.com

Índice de Fórmulas para resolver Ecuaciones Polinómicas

Árbol Fractal Móvil